matematica

Líneas notables

Líneas notables de un triángulo

MEDIANAS : Punto de intersección es el Baricentro

MEDIATRICES : Punto de interseccion es el Circuncentro

ALTURAS : Punto de interseccion es el Ortocentro

BISECTRICES: Punto de interseccion es el Incentro

La recta que une a los puntos (Baricentro , Circuncentro , Ortocentro y Incentro ) se llama recta de Euler

DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA

TEOREMA 3.- SI P1(X1,Y1) Y P2(X2,Y2) son los puntos extremos de un segmento de recta en que un

punto p (x,y) divide a este segmento en la razón dada r = P1P/PP2 Y viene carculada por x = x1+rx2/ 1+r

y = y1+ r y2/ 1+ r r =/= -1

Ejemplo. Si PI (- 4. 2) y P2 (4, 6) son 10s puntos extremos del segmento
dirigido PI Pa, hallar- las c-oorde nadas del punto P ( x , y) que divide a este
segmento en la raz6n P 1 P : PP2 = - 3.

Solución -. Como la raz6n r es negativa. el punto de divisibn P es externo,
tal como se indica en la figura 10. Si aplicamos el teorema 3 directamente,
obtenrmos:

x = x1+ r x2 / 1+r

x= -4+(-3)4/ 1-3= 8

y= y1+ ry2 /1+ r

y = 2+(-3)6 /1-3 = 8

PUNTO MEDIO

En el caso particular en que P es el punto medio del segmento dirigido P1 P2, es r = 1 , de manera que 10s resultados anteriores se reducen a :

X = X1+X2/2 ; Y= Y1+Y2/2

SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES

SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES

TEOREM 2 .A La distancia d entre dos puntos P1(X1, Y1) y P2(x2, y2)
estd dada por la FORMULA

NOTAS. 1. En la demostracidn del teorema 2, no se hizo menci6n de 10s cuadrantes en que se encuentran 10s puntos PI y Pa. Seg6n esto el resultado del teorema 2 es completamente general e independiente d, la situacibn de 10s puntos P1 y P2.

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN UN SISTEMA UNIDIMENSIONAL

TEOREMA 1.-La distancia de un segmento de recta es igual a la abscisa del punto final menos la abscisa del del punto inicial en valor absoluto

Vamos a determinar ahora la longitud del segmento que une dospuntos dados cualesquiera , tales como PI (zl ) y Pa ( 2 1 ) de la figura 3 .En Geometria analltica, se dice qne 10s puntos eattin dados cuando se conocen sus coordenadas . Por tanto , XI y za son ndmeros conocidos .Por la relaci6n (2) del Articulo 2 , tenemos :

                       OP1 + P1P2 = OP2

                      Pero, P1P2= OP2-OP1

                               P1P2 = (X2 - X1)

Ejemplo. Hallar la distancia entre 10s puntos PI (5) y P2 (- 3 ) .
Solucibn. Por el teorema 1. las longitudes de 10s segmentos dirigidos son

   P1P2 = -3-5 = -8
                           P2P1= 5-(-3) =8         _P2_______P1_________0
                                                                (-3)            (5)

GEOMETRÍA ANALÍTICA

( CHARLES LEHMAMN)

SISTEMA UNIDIMENCIONAL

HORIZONTAL

VERTICAL

2). Segmento rectilineo dirigido. La porci6n de una linca recta
comprendida entre dos de sus puntos se llama segmento rectilbneo o
simplemente segmento. Los dos puntos se llaman extremos del seg-
Fig. I
                                      A                    B

                                ------------->----------

mento. Asi, en la figura 1, para la recta 1, AB es un segmento
cuyos extremos son A y B. La longitud del segmento AB se representa
porAB.

El lector ya esth familiarizado con el concepto geomdtrico de
segmento rectilineo. Para 10s fines de la Geometrla analftica afiadiremos,
a1 concepto geomdtrico de segmento, la idea de senlido o
direccidn. Desde este punto de vista consideramos que el segmento AB
es generado por un punto que se mueve a lo largo de la recta 1 de A
hacia B. Decimos entonces que el segmento AB est& dirigido de
A a B, e indicamos esto por medio de una flecha como en la figura 1.
En este cam, el punto A se llama origen o punto inicial y el punto B
eztremo o punto $na2. Podemos tambih obtener el mismo segment0

dirigi6ndolo de B a A ; entonces B es el origen y A el extre~no, y el
segmento se designa por BA. El sentido de un segmento dirigido se
indica siempre escribiendo primero el origen o punto inicial.
Desde el punto de vista de la Geometria elemental, lag longitudes
de 10s segrnentos dirigidos , AB y BA , son las mismas. En Geometria
analitica , sin embargo, se hace una distinci6n entre 10s signos de
estas longitudes. Asi , especificamos , arbitrariamente , que un segmento
dirigido en un sentido serii considerado de longitud positiva,
mientras que otro , dirigido en sentido opuesto , serii considerado
como un segmento de longitud negatiutz. De acuerdo con esto, si
especificamos gue el segmento dirigido AB tiene una longitud positiva
, entonces el segmento dirigido BA tiene una longitud negativa ,
y escribimos . AB = - BA

Denlostraremos en seguida que todas estas relaciones est&n incluidas
en la relaczaczdfnu ndamental:

AB+BC=AC

IDENTIDADES

1) Podemos reducir un miembro a la forma del otro miembro usando identidades conocidas.

en general , el miembro mas complicado es reducido a la forma del miembro mas sencillo .

2)Podemos reducir ambos miembros usando identidades conocidas, a la misma expresion

entonces como los dos miembros son identicos a una misma expresión son identicos entre si

No puede darse ningún método general a seguir en todos los casos

Demostrar la siguiente igualdad trigonométrica que es una identidad

sen y /1 + cos y = 1- cos y/sen y
tg x/2 = tg x/2

Ctg x = sen 2x/ 1-cos2 x

ctg x =2senx cosx /1-(1+2sen2x)

ctg x = 2senx cos x /1-1-2 sen x

ctg x = 2senx cos x / 2 sen2 x

ctg x = cosx / sen x

ctg x =ctg x

ANALISIS TRIGONOMÉTRICO

(Seno y coseno de la suma o diferencia de dos Ángulos)

sen ( x + y ) = sen x . cos y + cos x . sen y
sen ( x - y ) = sen x . cos y - cos x . sen y
cos ( x + y ) = cos x.cos y - sen x . sen y
cos ( x - y ) = cos x . cosy + sen x. sen y
tg (x + y )= tg x + tg y /1-tg x . tg y
tg (x - y ) = tg x - tg y / 1+ tg x . tg y
ctg (x+y) = ctg x . ctg y-1/ ctg y+ ctg x
ctg (x -y) = ctg x . ctg y +1 / ctg y - ctg x

DEMOSTRAR QUE :

COS (X-Y+Z)= cosx cosy cosz + cosx sen y senz - senx cosy senz + senx seny cosz

cos ( (x-y) +z) = cos (x-y)cosz - sen(x-y) senz

cos ((x-y) + z) = ( cosx cosy + senx seny )cosz - (senx cosy -cosx seny ) senz

cos ((x-y) + z)= cosx cosy cosz + senz seny cosz - senx cosy senz + cosx seny senz