3) ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS DADOS 

TEOREMA 7 .- La ecuación de la recta que pasa por el punto P1(x1,y1) y P2(x2,y2) tiene como ecuacion :

                     m = y1-y2/x1-x2

                                                                    

                                                                       y-y1  = m = ( x - x1)

                                                                 

                                                                       y-y1= y1-y2/x1-x2(x-x1)

LA LÍNEA RECTA

LA LÍNEA RECTA

Es el lugar geométrico  de un punto que se mueve P2 ( x2,y2) tiene por pendiente m= y1-y2

 FORMAS DE REPRESENTACIÓN DE LA LÍNEA RECTA

1) Ecuación de la recta de pendiente y ordenada al origen 

TEOREMA 5.- La ecuación de la recta cuya pendiente es m y su ordenada al origen es b, tiene como ecuación y= mx + b

DEMOSTRACIÓN:

 

m= Y-b/x-0

m= y-b /x

mx = y-b

 mx + b = y 

EJEMPLO :

1) HALLAR LA ECUACIÓN DE LA RECTA CUYA PENDIENTE ES 2/3 Y CUYA ORDENADA AL ORIGEN ES b= -4 

  

 

Y = 2/3 X -4.

3Y = 2X -12

2X - 3Y -12 = 0  

2) ECUACION DE LA RECTA QUE PASA POR UN PUNTO Y TIENE SU PENDIENTE CONOCIDA

TEOREMA 6.-  La ecuacion de una recta cuya pendiente es m y pasa por el punto p(x,y) tiene una ecuacion  y-y1= m(x-x1)

 DEMOSTRACIÓN:

 

 .

 m= y-y1/x-x1

m(x-x1)= y-y1

y-y1=m(x-x1)

EJEMPLO :

1) HALLAR LA ECUACIÓN DE LA RECTA CUYA PENDIENTE ES -3/5  Y PASA POR EL PUNTO (4,7)

 

Y-Y1= m (x-x1)

y-7 = -3/5 (x-4)

5y - 35 = 3x +12

3x + 5y - 47 = 0

PENDIENTE DE UNA RECTA

  PENDIENTE DE UNA RECTA (m)

a) PARALELAS

Corolario.-  La condición necesaria y suficiente  para que dos rectas sean paralelas esq sus pendientes sean iguales   m1 = m2  

.

Tg 0º = m2 - m1 / 1+m2.m1

0/1= m2 - m1/ 1+m2.m1

(1+m2.m1)0 = m2-m1

 0 = m2-m1

m1 = m2

b) PERPENDICULARES

Corolario .- La condición necesaria y suficiente para que dos rectas sean perpendiculares esq sus pendientes sean inversas y de signo contrario

Tg Θ = m2- m1/1+m2.m1

Tg 90º = m2- m1/1+m2.m1

Tg 90º = inf = 1/0

1/0  =  m2- m1/1+m2.m1

1+m2.m1 = 0(m2-m1)

1+m2.m1 =0

m1 = - 1 /m2

EJEMPLO :

• En el siguiente triángulo cuyos vértices son lospuntos  de coordenads A (-4,8) B(4,4) Y C (-2,2) . Hallar los ángulos interiores

.

mAB = Y1-Y2/X1-X2                                mAC= 8-2/-4+2= -6/2 = -3

mAB= 8-4/-4-4= 4/ -8 = -1/2                     mBC= 4-2/4+2 = 2/6 =1/3.

Tg Θ A = m2-m1/1+m2.m1                        Tg Θ  C =   m2-m1/1+m2.m1                                                    

Tg Θ= -1/2-(-3)/1+(-1/3)(-3)                      Tg Θ = (-3 - 1/3)/ (1-3(1/3))

Tg Θ =-1/2+3 / 1+3/2                                  Tg Θ= (-9-1/3)/(1-3/5)

Tg Θ  = (-1+6/2)/(2+3/2)=5/5= 1                 Tg Θ = (-10/3)/(0/3) = -30/0 = infinito

    Tg Θ a = 1                                                      

Θ A = inv tg 1

Θ A  = 45º

Tg Θ B= m2-m1/1+m2.m1                            Comprobación:

Tg Θ = 1/3-(-1/2)/1+1/3(-1/2)                       A+B+C =180º

Tg Θ =(1/3+1/2)/(1-1/6)                               45º +45º +90º = 180º

Tg Θ = (5/6)/(5/6)                                               180º  = 180º

Tg Θ = 5/5 

Tg Θ  = 1  

Θ = Inv Tg 1

Θ = 45º 

ÁNGULO FORMADO POR DOS RECTAS

ÁNGULO FORMADO POR DOS RECTAS

TEOREMA 4.-Un ángulo específicado Θ  formado por dos rectas que se cortan ; viene determinado por m2 pendiente del lado final y m1 pendiente del lado inicial .

tg Θ = m2-m1/ 1+m2.m1       ; m2.m1 =/= -1

DEMOSTRACIÓN :

L

 α2 = α 1 + Θ

Θ =  α2 - α 1

Tg Θ = tg (α2 - α 1)

tg  Θ = tg α2- tg α1/1+ tg α2 . tg α 1

m = tg α

tg  α =m2-m1/1+ m2,m1

LA LÍNEA RECTA

LA LÍNEA RECTA

Es el lugar geométrico  de un punto que se mueve P2 ( x2,y2) tiene por pendiente m= y1-y2

 FORMAS DE REPRESENTACIÓN DE LA LÍNEA RECTA

1) Ecuación de la recta de pendiente y ordenada al origen 

TEOREMA 5.- La ecuación de la recta cuya pendiente es m y su ordenada al origen es b, tiene como ecuación y= mx + b

DEMOSTRACIÓN:

 

m= Y-b/x-0

m= y-b /x

mx = y-b

 mx + b = y 

EJEMPLO :

1) HALLAR LA ECUACIÓN DE LA RECTA CUYA PENDIENTE ES 2/3 Y CUYA ORDENADA AL ORIGEN ES b= -4 

  

 

Y = 2/3 X -4.

3Y = 2X -12

2X - 3Y -12 = 0  

2) ECUACION DE LA RECTA QUE PASA POR UN PUNTO Y TIENE SU PENDIENTE CONOCIDA

TEOREMA 6.-  La ecuacion de una recta cuya pendiente es m y pasa por el punto p(x,y) tiene una ecuacion  y-y1= m(x-x1)

 DEMOSTRACIÓN:

 

 .

 m= y-y1/x-x1

m(x-x1)= y-y1

y-y1=m(x-x1)

EJEMPLO :

1) HALLAR LA ECUACIÓN DE LA RECTA CUYA PENDIENTE ES -3/5  Y PASA POR EL PUNTO (4,7)

 

Y-Y1= m (x-x1)

y-7 = -3/5 (x-4)

5y - 35 = 3x +12

3x + 5y - 47 = 0

Pendiente de una recta(m)

 Pendiente de una recta(m)

Angulo de inclinación α .- E s el angulo formado entre la parte positiva del eje de las x y una alineación cualquiera siempre q esta este dirigida hacia arriba por lo tanto α   tendra valores mayores o iguales a cero grados y menores o iguales a 180 º

Pendiente de una recta .-la pendiente de una recta es igual a la tangente del angulo de inclinación α

m = tg

teorema 3.-si p1(x1,y1) y p2(x2,y2) son los puntos extremos de un segmento de recta su pendiente viene determinada  por  m= y1-y2/x1-x2              x1=/= x2

Líneas notables

 Líneas notables de un triángulo

MEDIANAS : Punto de intersección es el Baricentro

l

 MEDIATRICES : Punto de interseccion es el Circuncentro

ALTURAS : Punto de interseccion  es el Ortocentro 

 

BISECTRICES: Punto de interseccion es el Incentro 

                                                      

 La recta que une a los puntos (Baricentro , Circuncentro , Ortocentro y Incentro ) se llama recta de Euler

DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA

 DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA

TEOREMA 3.- SI P1(X1,Y1) Y P2(X2,Y2) son los puntos extremos de un segmento de recta en que un 

punto p (x,y) divide a este segmento en la razón dada  r = P1P/PP2 Y viene carculada por x = x1+rx2/ 1+r

y = y1+ r y2/ 1+ r          r =/= -1 

Ejemplo. Si PI (- 4. 2) y P2 (4, 6) son 10s puntos extremos del segmento
dirigido PI Pa, hallar- las c-oorde nadas del punto P ( x , y) que divide a este
segmento en la raz6n P 1 P : PP2 = - 3.

Solución -. Como la raz6n r es negativa. el punto de divisibn P es externo,
tal como se indica en la figura 10. Si aplicamos el teorema 3 directamente,
obtenrmos:

x = x1+ r x2 / 1+r  

x=  -4+(-3)4/ 1-3= 8

y= y1+ ry2 /1+ r

y = 2+(-3)6 /1-3 = 8

                                               PUNTO MEDIO 

En el caso particular en que P es el punto medio del segmento dirigido P1 P2, es r = 1 , de manera que 10s resultados anteriores se reducen a :
                    

     X = X1+X2/2         ;        Y= Y1+Y2/2  

         

SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES

SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES

TEOREM 2 .A La distancia d entre dos puntos P1(X1, Y1) y P2(x2, y2)
estd dada por la FORMULA   

 

NOTAS. 1. En la demostracidn del teorema 2, no se hizo menci6n de 10s cuadrantes en que se encuentran 10s puntos PI y Pa. Seg6n esto el resultado  del teorema 2 es completamente general e independiente d, la situacibn de 10s puntos P1 y P2.
  

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN UN SISTEMA UNIDIMENSIONAL

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN UN SISTEMA UNIDIMENSIONAL

 TEOREMA 1.-La distancia de un segmento de recta es igual a la abscisa del punto final menos la abscisa del del punto inicial en valor absoluto

• Vamos a determinar ahora la longitud del segmento que une dospuntos dados cualesquiera , tales como PI (zl ) y Pa ( 2 1 ) de la figura 3 .En Geometria analltica, se dice qne 10s puntos eattin dados cuando se conocen sus coordenadas . Por tanto , XI y za son ndmeros conocidos .Por la relaci6n (2) del Articulo 2 , tenemos :

                       OP1 + P1P2 = OP2

                      Pero, P1P2= OP2-OP1
                              
                               P1P2 = (X2 - X1)

Ejemplo. Hallar la distancia entre 10s puntos PI (5) y P2 (- 3 ) .
Solucibn. Por el teorema 1. las longitudes de 10s segmentos dirigidos son
                         
                           P1P2 = -3-5 = -8
                           P2P1= 5-(-3) =8         _P2_______P1_________0
                                                                (-3)            (5)