3) ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS DADOS 

TEOREMA 7 .- La ecuación de la recta que pasa por el punto P1(x1,y1) y P2(x2,y2) tiene como ecuacion :

                     m = y1-y2/x1-x2

                                                                    

                                                                       y-y1  = m = ( x - x1)

                                                                 

                                                                       y-y1= y1-y2/x1-x2(x-x1)

LA LÍNEA RECTA

LA LÍNEA RECTA

Es el lugar geométrico  de un punto que se mueve P2 ( x2,y2) tiene por pendiente m= y1-y2

 FORMAS DE REPRESENTACIÓN DE LA LÍNEA RECTA

1) Ecuación de la recta de pendiente y ordenada al origen 

TEOREMA 5.- La ecuación de la recta cuya pendiente es m y su ordenada al origen es b, tiene como ecuación y= mx + b

DEMOSTRACIÓN:

 

m= Y-b/x-0

m= y-b /x

mx = y-b

 mx + b = y 

EJEMPLO :

1) HALLAR LA ECUACIÓN DE LA RECTA CUYA PENDIENTE ES 2/3 Y CUYA ORDENADA AL ORIGEN ES b= -4 

  

 

Y = 2/3 X -4.

3Y = 2X -12

2X - 3Y -12 = 0  

2) ECUACION DE LA RECTA QUE PASA POR UN PUNTO Y TIENE SU PENDIENTE CONOCIDA

TEOREMA 6.-  La ecuacion de una recta cuya pendiente es m y pasa por el punto p(x,y) tiene una ecuacion  y-y1= m(x-x1)

 DEMOSTRACIÓN:

 

 .

 m= y-y1/x-x1

m(x-x1)= y-y1

y-y1=m(x-x1)

EJEMPLO :

1) HALLAR LA ECUACIÓN DE LA RECTA CUYA PENDIENTE ES -3/5  Y PASA POR EL PUNTO (4,7)

 

Y-Y1= m (x-x1)

y-7 = -3/5 (x-4)

5y - 35 = 3x +12

3x + 5y - 47 = 0

PENDIENTE DE UNA RECTA

  PENDIENTE DE UNA RECTA (m)

a) PARALELAS

Corolario.-  La condición necesaria y suficiente  para que dos rectas sean paralelas esq sus pendientes sean iguales   m1 = m2  

.

Tg 0º = m2 - m1 / 1+m2.m1

0/1= m2 - m1/ 1+m2.m1

(1+m2.m1)0 = m2-m1

 0 = m2-m1

m1 = m2

b) PERPENDICULARES

Corolario .- La condición necesaria y suficiente para que dos rectas sean perpendiculares esq sus pendientes sean inversas y de signo contrario

Tg Θ = m2- m1/1+m2.m1

Tg 90º = m2- m1/1+m2.m1

Tg 90º = inf = 1/0

1/0  =  m2- m1/1+m2.m1

1+m2.m1 = 0(m2-m1)

1+m2.m1 =0

m1 = - 1 /m2

EJEMPLO :

• En el siguiente triángulo cuyos vértices son lospuntos  de coordenads A (-4,8) B(4,4) Y C (-2,2) . Hallar los ángulos interiores

.

mAB = Y1-Y2/X1-X2                                mAC= 8-2/-4+2= -6/2 = -3

mAB= 8-4/-4-4= 4/ -8 = -1/2                     mBC= 4-2/4+2 = 2/6 =1/3.

Tg Θ A = m2-m1/1+m2.m1                        Tg Θ  C =   m2-m1/1+m2.m1                                                    

Tg Θ= -1/2-(-3)/1+(-1/3)(-3)                      Tg Θ = (-3 - 1/3)/ (1-3(1/3))

Tg Θ =-1/2+3 / 1+3/2                                  Tg Θ= (-9-1/3)/(1-3/5)

Tg Θ  = (-1+6/2)/(2+3/2)=5/5= 1                 Tg Θ = (-10/3)/(0/3) = -30/0 = infinito

    Tg Θ a = 1                                                      

Θ A = inv tg 1

Θ A  = 45º

Tg Θ B= m2-m1/1+m2.m1                            Comprobación:

Tg Θ = 1/3-(-1/2)/1+1/3(-1/2)                       A+B+C =180º

Tg Θ =(1/3+1/2)/(1-1/6)                               45º +45º +90º = 180º

Tg Θ = (5/6)/(5/6)                                               180º  = 180º

Tg Θ = 5/5 

Tg Θ  = 1  

Θ = Inv Tg 1

Θ = 45º 

ÁNGULO FORMADO POR DOS RECTAS

ÁNGULO FORMADO POR DOS RECTAS

TEOREMA 4.-Un ángulo específicado Θ  formado por dos rectas que se cortan ; viene determinado por m2 pendiente del lado final y m1 pendiente del lado inicial .

tg Θ = m2-m1/ 1+m2.m1       ; m2.m1 =/= -1

DEMOSTRACIÓN :

L

 α2 = α 1 + Θ

Θ =  α2 - α 1

Tg Θ = tg (α2 - α 1)

tg  Θ = tg α2- tg α1/1+ tg α2 . tg α 1

m = tg α

tg  α =m2-m1/1+ m2,m1

LA LÍNEA RECTA

LA LÍNEA RECTA

Es el lugar geométrico  de un punto que se mueve P2 ( x2,y2) tiene por pendiente m= y1-y2

 FORMAS DE REPRESENTACIÓN DE LA LÍNEA RECTA

1) Ecuación de la recta de pendiente y ordenada al origen 

TEOREMA 5.- La ecuación de la recta cuya pendiente es m y su ordenada al origen es b, tiene como ecuación y= mx + b

DEMOSTRACIÓN:

 

m= Y-b/x-0

m= y-b /x

mx = y-b

 mx + b = y 

EJEMPLO :

1) HALLAR LA ECUACIÓN DE LA RECTA CUYA PENDIENTE ES 2/3 Y CUYA ORDENADA AL ORIGEN ES b= -4 

  

 

Y = 2/3 X -4.

3Y = 2X -12

2X - 3Y -12 = 0  

2) ECUACION DE LA RECTA QUE PASA POR UN PUNTO Y TIENE SU PENDIENTE CONOCIDA

TEOREMA 6.-  La ecuacion de una recta cuya pendiente es m y pasa por el punto p(x,y) tiene una ecuacion  y-y1= m(x-x1)

 DEMOSTRACIÓN:

 

 .

 m= y-y1/x-x1

m(x-x1)= y-y1

y-y1=m(x-x1)

EJEMPLO :

1) HALLAR LA ECUACIÓN DE LA RECTA CUYA PENDIENTE ES -3/5  Y PASA POR EL PUNTO (4,7)

 

Y-Y1= m (x-x1)

y-7 = -3/5 (x-4)

5y - 35 = 3x +12

3x + 5y - 47 = 0

Pendiente de una recta(m)

 Pendiente de una recta(m)

Angulo de inclinación α .- E s el angulo formado entre la parte positiva del eje de las x y una alineación cualquiera siempre q esta este dirigida hacia arriba por lo tanto α   tendra valores mayores o iguales a cero grados y menores o iguales a 180 º

Pendiente de una recta .-la pendiente de una recta es igual a la tangente del angulo de inclinación α

m = tg

teorema 3.-si p1(x1,y1) y p2(x2,y2) son los puntos extremos de un segmento de recta su pendiente viene determinada  por  m= y1-y2/x1-x2              x1=/= x2